Четверть тоновый строй

З д е с ь б у д е т у м н о е ч т о - н и б у д ь

*** Две с половиной тысячи лет назад Пифагор, исследуя звучание колеблющихся струн, обнаружил, что наиболее благозвучные сочетания получаются при строго определенных соотношениях длин совместно звучащих струн. Великий математик обратил внимание на соотношения 1/2 (октава), 2/3 (квинта), 3/4 (кварта) и другие (см. Таблица 1 ниже). Современное европейское звучание, получившее название "равномерная темперация" немного отличается от привычного уху древнего грека, однако имеет ряд исторически доказавших свою ценность преимуществ. Это большой и интереснейший разговор, и Вы без труда сможете найти в интернете информацию по запросам "равномерная темперация", "натуральный звукоряд" "цент", "комма", "волчьи квинты"...
Мы же сейчас рассмотрим особенности частот четверть-тонового (24 ноты в октаве) строя. Для начала определимся с соотношением частот в музыкальных интервалах.

Всё просто. Мы знаем, что

(1) соотношение частот между всеми нотами одинаковое (равномерная темперация), и

(2) частота ноты, на октаву более высокой, больше в два раза (Пифагор).

Пусть a₀ - частота исходной ноты, a₁, a₂, ..., a₁₂ - частоты последующих нот в октаве до начала следующей включительно.

Пусть частоты соседних нот различаются на некий коэффициент k.

Попробуем найти его.

Рассмотрим как изменяется соотношение частот по мере увеличения расстояния между нотами, учитывая (1).

a₁ = ka₀

a₂ = ka₁ = k(ka₀) = k²a₀

a₃ = ka₂ = k(ka₁) = k(k(ka₀)) = k³a₀

...

a₁₂ = k¹²a₀

Но мы помним (2), что

a₁₂ = 2a₀

Приравнивая правые части получаем:

k¹²a₀ = 2a₀

или, сокращая a₀:

k¹² = 2

Т.О., получаем, что k равен корню 12-ой степени из 2-х.

k = 1,0594630943592952645618252949463

Рассуждая аналогично получаем для четвертьтонового строя (k равен корню 24-ой степени из 2-х.):

k' = 1,0293022366434920287823718007739

Таблица 1

Интервал	РТ	Натуральные интервалы	Различие
Прима	k'⁰ = 1	1/1
	1,0293022366434920287823718007739
Малая секунда	1,0594630943592952645618252949463	16/15 = 1,0666666666666666666666666666667
	1,0905077326652576592070106557607
Большая секунда	1,1224620483093729814335330496792	9/8 = 1,125
	1,1553526968722730102453370986819
Малая терция	1,1892071150027210667174999705605	6/5 = 1,2
	1,224053543304655239132160216826
Большая терция	1,2599210498948731647672106072782	5/4 = 1,25
	1,2968395546510096659337541177925
Кварта	1,3348398541700343648308318811845	4/3 = 1,3333333333333333333333333333333
	1,3739536474580891017766557477497
Тритон	1,4142135623730950488016887242097	45/32 = 1,40625
	1,4556531828421873543551155614679
Квинта	1,4983070768766814987992807320298	3/2 = 1,5
	1,5422108254079408236122918620907
Малая секста	1,5874010519681994747517056392723	8/5 = 1,6
	1,6339154532410998436782440504121
Большая секста	1,6817928305074290860622509524664	5/3 = 1,6666666666666666666666666666667
	1,731073122012286053390184437556
Малая септима	1,781797436280678609480452411181	16/9 = 1,7777777777777777777777777777778
	1,8340080864093424634870831895883
Большая септима	1,8877486253633869932838263133351	15/8 = 1,875
	1,9430638823072117374865788316425
Октава	2	16/8 = 2